バーゼル問題を解いてみよう！（1/n^2の無限和）
無限級数$$\displaystyle \sum_^ \dfrac>=>+>+>+\cdots$$の値が幾らになるのかという問題は17世紀後半から18世紀前半の西洋数学界における大きな関心事でした。これは「バーゼル問題」と呼ばれ、多くの数学者の挑戦を撥ね退けてきた難問として当時から広く知られていましたが、遂に1735年、数学者レオンハルト・オイラーによってエレガントに解決されます。その極限値は $\dfrac$ と求められ、円周率が出現するという誰も予想しないような興味深い値でした。当のオイラーはこの値を得たとき、宇宙の神秘を感じたと伝えられています。
例題
無限級数 $\displaystyle \sum_^ \dfrac-4>$ の和を求めよ。
さて、一方のバーゼル問題に登場する級数 $\displaystyle \sum_^ \dfrac>$ は一筋縄ではいきません。$\dfrac>$ が部分分数分解ができないため、式変形だけではそう簡単に解けないのです。
収束することの証明無限級数 $\displaystyle \sum_^ \dfrac>$ の極限値を正確に求めるのは困難ですが、収束性の証明は比較的容易です。
例題
級数 $\displaystyle \sum_^ \dfrac>$ が収束することを示せ。
極限値$\dfrac$を求めるここからはいよいよ本題です。極限値$$\displaystyle \sum_^ \dfrac>=\dfrac$$はオイラーが初めて求めることに成功していますが、そこには常人では成しえない鋭い洞察に基づく着想がありました。
オイラーの方法では $\sin x$ の マクローリン展開 を利用します。「マクローリン展開」とは簡単に言うと、$x$の関数を$x$の整級数（$x$の無限項からなる多項式）で表すと言うものです。
いかがでしょうか？狐につままれるような印象を受ける導出法ですが、$\dfrac $ を因数分解してしまうところにオイラーの卓越した数学的センスが見て取れます。この他にも $\dfrac $ を式変形していく解法などが知られていますが、オイラーの方法の方が（数学的にはあまり厳密ではありませんが）直感的には分かりやすいのではないでしょうか。
偶数・奇数の平方数の場合$\displaystyle \sum _^\dfrac>$ の値を求めるには以下のようにすればよく、簡単に求められます。
3乗以上の場合は？（リーマン予想との関連）ここまで $\displaystyle \sum _^\dfrac>$ の値について見てきましたが、同じように $\displaystyle \sum _^\dfrac>$ という無限級数も考えられるのではないか、と思えてきます。
これらを一般化して定義域を複素数まで拡張した$$\zeta (s)= \displaystyle \sum^_ \dfrac$$と表される関数は（リーマンの） ゼータ関数 と呼ばれ、解析的整数論の分野で盛んに研究されています。$s$に整数を代入した値は「特殊値（particular value）」と呼ばれており、特に$s$に 偶数 を代入した値については、ベルヌーイ数$B_n$を用いて$$\zeta (2n)=(-1)^\cdot \dfrac(2\pi)^>$$という解析的な表示を得ることができます。以下に例を示します。$$\small \begin & \displaystyle \zeta (2)=\sum^_ = =1.6449\dots \\ & \displaystyle \zeta (4)=\sum _^>>= =1.0823\dots \\ & \displaystyle \zeta (6)=\sum _^>>= =1.0173\dots \\ & \displaystyle \zeta (8)=\sum^_ =\frac =1.00407\dots \\ & \displaystyle \zeta (10)=\sum^_ =\frac =1.000994\dots \end$$
一方で$s$に奇数を代入した値については解析的な表示が得られていません。$\zeta (3)$は特に アペリの定数（Apéry’s constant） と呼ばれ数学者アペリによって無理数であることが証明されています。しかしながら、奇数を代入して得られるそれ以外の特殊値が無理数かどうかは分かっていません ※ 。恐らくいずれも無理数だろうと考えられていますが、今のところ誰も証明できていません。
※「$\zeta (5)$、$\zeta (7)$、$\zeta (9)$、$\zeta (11)$の少なくとも１つは無理数である」という一風変わった事実なら証明されています。
このゼータ関数$\zeta (s)$は数学者リーマンによって詳しく研究されており、1859年にリーマンは、$s$を複素数に拡張した複素関数としてのゼータ関数のゼロ点（$\zeta (s)$の値が$0$になるような複素数$s$）について
「$\zeta (s)$のすべての非自明な零点の実部は $\dfrac$ である」
という世に名高い「 リーマン予想 」を提唱しています。以来160年もの間、誰もこの予想の完全な証明を与えられていませんが、今では多くの数学者の間でこの予想が正しいと信じられています。
この級数から円周率$\pi$を求めてみる$\displaystyle \sum _^\dfrac>$ の値は $1.64393456668…$となり、極限値$\dfrac(=1.64493406684…)$の$99.9$％の数値が得られます。級数の極限値を使えば$$\pi=\sqrt>$$から円周率$\pi$の値を求められそうですが、$1000$項まで計算したとしても$$\sqrt>=3.140638…$$と小数点以下$2$桁までしか正しい値が求められません。残念ながらこの級数は収束が遅く、円周率$\pi$を求めるのには適していません。
無理数の極限値に近付く有理数の級数としては、メルカトル級数$$\begin & \ \ \ \displaystyle\sum_^\dfrac> \\ &=1-\dfrac+\dfrac-\dfrac+\cdots \\ &=\log_e 2 \end$$や、グレゴリー・ライプニッツ級数$$\begin & \ \ \ \displaystyle\sum_^\dfrac> \\ &=1-\dfrac+\dfrac-\dfrac\cdots \\ &=\dfrac \end$$などが知られています。有理数なのに無限個足し合わせると無理数になる、というのは直感的には不思議な感じがしますね！
“バーゼル問題を解いてみよう！（1/n^2の無限和）” への2件の返信
コメントを残す コメントをキャンセル管理人便り (2026/01/04記)
《リンク付け・引用について》 当サイトへのリンク付けは自由にして頂いて構いませんが、その際に管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。 また、特に断りが無い限り、投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイト･運営者に帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク（URL）を記載して下さい。宜しくお願いいたします。