《理論》〈電磁気〉[R07上:問1]２つのコンデンサに蓄えられる静電エネルギーに関する計算問題
2.コンデンサの合成静電容量 コンデンサ容量が\( \ C_ \ \mathrm \ \)と\( \ C_ \ \mathrm \ \)のコンデンサがある場合，直並列の合成静電容量\( \ C \ \mathrm \ \)は下記の通りとなります。抵抗の場合と直並列が逆になることを知っておきましょう。 ①並列回路の合成静電容量 \[ \begin C&=&C_+C_ \\[ 5pt ] \end \] ②直列回路の合成静電容量 \[ \begin \frac &=&\frac +\frac \\[ 5pt ] \end \] 整理すると， \[ \begin C&=&\frac \\[ 5pt ] \end \]
3.コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \) コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \mathrm \ \)は，コンデンサの静電容量\( \ C \ \mathrm \ \)及びコンデンサに加わる電圧\( \ V \ \mathrm \ \)とすると， \[ \begin W &=&\frac CV^ \\[ 5pt ] \end \] であり，\( \ Q=CV \ \)の関係から， \[ \begin W&=&\frac QV \\[ 5pt ] &=&\frac \\[ 5pt ] \end \] となります。
【解答】解答：(2) 本問は電荷を蓄えた\( \ C \ \mathrm \ \)のコンデンサと蓄えていない\( \ 2C \ \mathrm \ \)のコンデンサを並列に接続したとなっているので，図1に示すスイッチ\( \ \mathrm \ \)を組み合わせた回路と等価であると考えられる。
図1において，スイッチ\( \ \mathrm \ \)投入前に\( \ C \ \mathrm \ \)のコンデンサに蓄えられる電荷\( \ Q \ \mathrm \ \)は，ワンポイント解説「1.電荷\( \ Q \ \)と静電容量\( \ C \ \)及び電圧\( \ V \ \)の関係」の通り， \[ \begin Q &=&CV \\[ 5pt ] \end \] であり，スイッチ\( \ \mathrm \ \)投入後も合計の電荷量は変化しない。また，並列接続後の合成静電容量\( \ C^ \ \mathrm \ \)は，ワンポイント解説「2.コンデンサの合成静電容量」の通り， \[ \begin C^ &=&C+2C \\[ 5pt ] &=&3C \\[ 5pt ] \end \] であるため，並列接続後の全静電エネルギー\( \ W \ \mathrm \ \)は，ワンポイント解説「3.コンデンサの静電エネルギー\( \ W \ \)」の通り， \[ \begin W &=&\frac > \\[ 5pt ] &=&\frac \\[ 5pt ] &=&\frac CV^ \\[ 5pt ] \end \] と求められる。
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