. 1週間で完成！ うさぎでもわかる確率分布と統計的な推測 1日目 確率分布の基礎 - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
1週間で完成！ うさぎでもわかる確率分布と統計的な推測 1日目 確率分布の基礎 - 工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
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1週間で完成！ うさぎでもわかる確率分布と統計的な推測 1日目 確率分布の基礎

\( X \) の平均 \( E(X) \) は\[\beginE(X) & = \frac (1 + 2 + 3) \\ & = 2\end\]となり、\( Y \) の平均 \( E(Y) \) は\[\beginE(Y) & = \frac (0 + 2 + 4) \\ & = 2\end\]となるので、\( E(X+Y) \) は、\[\beginE(X+Y) & = E(X) + E(Y)\\ & = 2 + 2\\ & = 4\end\]となり、地道に計算した場合と答えが一致しましたね！

(2) X, Y が独立 のとき「積の平均 E(XY) ＝平均の積 E(X)E(Y)」

2つの確率変数 \( X \), \( Y \) が独立であるとき、積平均 \( E(XY) \) とそれぞれの平均 \( E(X) \), \( E(Y) \) には、\[E(XY) = E(X) \cdot E(Y)\]が成り立ちます。

箱A：1, 2, 3の数字が書かれたくじが入っている箱B：0, 2, 4の数字が書かれたくじが入っている

このとき、2つの箱A, Bから無作為に1つずつくじを取り出し、箱Aから取り出したくじに書かれている数字を \( X \)、箱Bから取り出したくじに書かれている数字を \( Y \) とし、平均 \( E(XY) \) を求めてみましょう。

(i) 地道にもとめてみる

まずは全パターンを列挙して平均 \( E(XY) \) を求めて見ましょう。

XY = 0：3通り (1,0), (2,0), (3,0)XY = 2：1通り (1,2)XY = 4：2通り (1,4) or (2,2)XY = 6：1通り (3,2)XY = 8：1通り (2,4) XY = 12：1通り (3,4)

の全9パターンがあります。よって、平均 \( E(XY) \) は、\[\beginE(XY) & = \frac (0 \cdot 3 + 2 + 4 \cdot 2 + 6 + 8 + 12)\\ & = 4\end \]となります。

(ii) 公式を使う

今回は、\( X \) の取りうる値と \( Y \) の取りうる値はどう考えても独立なので、「積の平均＝平均の積」の公式を使うことができます。

\( X \) の平均 \( E(X) \) は\[\beginE(X) & = \frac (1 + 2 + 3) \\ & = 2\end\]となり、\( Y \) の平均 \( E(Y) \) は\[\beginE(Y) & = \frac (0 + 2 + 4) \\ & = 2\end\]となるので、\( E(XY) \) は、\[\beginE(XY) & = E(X) \cdot E(Y)\\ & = 2 \cdot 2\\ & = 4\end\]となり、確かに答えが一致します。

(3) X, Yが独立 のとき「分散 V(X+Y) = V(X) + V(Y)」

2つの確率変数 \( X \), \( Y \) が 独立であるとき 、和だけなく、分散も「2つの分散 \( V(X) \), \( V(Y) \) を足し合わせたものが和 \( V(X+Y) \) の分散」となります。つまり、\[V(X+Y) = V(X) + V(Y)\]が成立します。

つまり、独立した確率変数 \( X \), \( Y \) の散らばり具合 \( V(X) \), \( V(Y) \) と和 \( X+Y \) の散らばり具合 \( V(X+Y) \) は等しくなることを示しています。

箱A：1, 2, 3の数字が書かれたくじが入っている箱B：0, 2, 4の数字が書かれたくじが入っている

このとき、2つの箱A, Bから無作為に1つずつくじを取り出し、箱Aから取り出したくじに書かれている数字を \( X \)、箱Bから取り出したくじに書かれている数字を \( Y \) とし、分散 \( V(X+Y) \) はどうなるでしょうか。

(i) 地道にもとめてみる

(1)で、\( V(X+Y) = 4 \) と求めましたね。

X+Y=1 [1通り] 残差：-3 残差の2乗：9X+Y=2 [1通り] 残差：-2 残差の2乗：4X+Y=3 [2通り] 残差：-1 残差の2乗：1X+Y=4 [1通り] 残差：0 残差の2乗：0X+Y=5 [2通り] 残差：1 残差の2乗：1X+Y=6 [1通り] 残差：2 残差の2乗：4X+Y=7 [1通り] 残差：3 残差の2乗：9

となるので、分散 \( V(X+Y) \) は\[\beginV(X+Y) & = \frac (9 + 4 + 1 \cdot 2 + 0 + 1 \cdot 2 + 4 + 9)\\ & = \frac\\ & = \frac\end\]と求められます。

(ii) 公式を使う

なお、標準偏差でも同じこと、つまり2つの確率変数 \( X \), \( Y \) が独立であれば\[\sigma (X+Y) = \sigma (X) + \sigma (Y)\]が成立します。

確率変数 X, Y の平均・分散の関係

ある確率変数 \( X, Y \) の和の平均 \( E(X+Y) \) とそれぞれの平均 \( E(X) \), \( E(Y) \)には、\[E(X+Y) = E(X) + E(Y)\]が成立する。

また、確率変数 \( X \), \( Y \) が 独立なとき 、積の平均 \( E(XY) \) とそれぞれの平均 \( E(X) \), \( E(Y) \)、および和の分散 \( V(X+Y) \) とそれぞれの分散 \( V(X) \), \( V(Y) \) には、\[E(XY) = E(X) \cdot E(Y) \\V(X+Y) = V(X) + V(Y)\]が成立する。

(4) 公式の使用例

例えば、「コインを10回投げたときに表が出る回数 \( Y \) の平均 \( E(Y) \) と分散 \( V(Y) \) を求めよ。」と聞かれたとします。

ですが、コインを2回投げたときに表が出る確率 \( X \) としたときの、平均 \( E(X) \)、分散 \( V(Y) \) を、\[E(X) = 1 , \ \ \ V(X) = \frac\]と求めていましたね（第2章で）。

なので、コインを10回投げた事象 \( Y \) は、\( X \) の事象を5回（それぞれ \( X_1 \), \( X_2 \), \( X_3 \), \( X_4 \), \( X_5 \) とします）繰り返したものと同じになりますよね。

さらに、\( X_1 \) 〜 \( X_5 \) それぞれの事象はもちろん独立（前の結果で表裏が出る確率は変わらない）なので、\[E(Y) = 1 \cdot 5 = 5 \\V(Y) = \frac \cdot 5 = \frac\]のように求めることができます！

６．練習問題

大きいサイコロと小さいサイコロの2つがある。大きいサイコロで出た目を \( X \)、小さいサイコロで出た目を \( Y \) とする。

（ただし X, Y の出目は 1, 2, 3, 4, 5, 6 の6つであり、どれも同じ確率で出るものとする。）

ここで、\( Y = 6X + 5 \) とする。

このとき、\( Y \) の平均 \( E(Y) \)、および分散 \( V(Y) \) は\[E(Y) = \left[ \ \ \ ソタ \ \ \ \right] \ \ \ V(Y) =\left[ \ \ \ チツテ \ \ \ \right]\]となる。

７．練習問題の答え

サイコロで1の目が出る確率 \( P(X=1) \) は、6通りの出目（1〜6）の中から1（1通り）が出る確率なので、\[P(X=1) = \frac\]となる。（ア：1 イ：6）

また、大きいサイコロ、小さいサイコロの出目の合計が5となる確率 \( P(X + Y) = 5 \) は、36通り（6通り×6通り）の中から和が5となる組み合わせ、つまり (大,小) = (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)の4通りが出る確率なので、\[P(X + Y =5) = \frac = \frac\]となる。（ウ：1 エ：9）

また、平均 \( E(X) \) は 1, 2, 3, 4, 5, 6 の出目がそれぞれ 1/6 の確率で出るので、\[\beginE(X) & = \frac (1+2+3+4+5+6)\\ & = \frac\end\]となる。（オ：7 カ：2）

ここで、\( Y = 6X + 5 \) としたときの期待値 \( E(Y) \)、分散 \( V(Y) \) はそれぞれ\[\beginE(Y) & = E(6X+5)\\ & = E(6X) + 5\\ & = 6E(X) + 5\\ & = 6 \cdot \frac + 5\\ & = 26\end\]（ソタ：26）\[\beginV(Y) & = V(6X+5)\\ & = V(6X)\\ & = 6^2 V(X)\\ & = 36 \cdot \frac\\ & = 3 \cdot 35\\ & = 105\end\]となる。（チツテ：105）

８．さいごに（復習）

(1) 平均・分散・標準偏差

ある確率変数 \( X \) の平均 \( E(X) \)、分散 \( V(X) \)、標準偏差 \( \sigma (X) \) は、

平均 E(X)

「それぞれの \( X \) の取りうる値 × \( X \) となる確率」をすべて足したもの\[\beginE(X) & = \sum^_ x_k p_k \\ & = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\end\]

分散 V(X)

それぞれの「（\( X \) と平均 \( m \) の差）の2乗 × \( X \) となる確率」をすべて足したもの\[\beginV(X) & = \sum^_ (x_k - m)^2 p_k \end\]もしくは「それぞれの \( X^2 \) の取りうる値 × 確率をすべて足した \( E(X^2) \) から平均の2乗 \( ( E(X) )^2 \) を引いたもの\[V(X) = E(X^2) - \left\< E(X) \right\>^2\]

標準偏差 σ(X)

分散 \( V(X) \) のルートを取ったもの、つまり\[\sigma(X) = \sqrt< V(X) >\]

(2) 確率変数X, Y があるときの平均 / 分散 / 標準偏差 平均

\[E(aX) = aE(X) \\ E(X + b) = E(X) + b \\E(aX + b) = aE(X) + b E(X+Y) = E(X) + E(Y)\]は常に成立、\( X \) と \( Y \) が独立であれば\[E(XY) = E(X) + E(Y)\]も成立。

分散

\[ V(aX) = a^2 V(X) \\V (X + b) = V(X) \\V(aX + b) = a^2 V(X) \\\]また、\( X \) と \( Y \) が独立であれば\[V(X+Y) = V(X) + V(Y)\]も成立。

標準偏差（分散とほぼ同じなので覚える必要はない）

\[ \sigma(aX) = a \sigma V(X) \\\sigma (X + b) =\sigma (X) \\\sigma (aX + b) = a \sigma (X) \\\]また、\( X \) と \( Y \) が独立であれば\[\sigma (X+Y) =\sigma (X) +\sigma (Y)\]も成立。

*1 : 今まで数学で出てきた \( x \), \( y \) などの変数は「1/5の確率で1、それ以外の確率で0」みたいなことにはなりませんよね。そのため、確率変数という独自の変数が用いられるのです。

*3 : 単純に \( X \) の取りうる値の平均が期待値だと思えばOKです。

*4 : データの分析による「分散」では、最後にデータ数 \( n \) で割る必要があるが、「確率分布と統計的な推測」の場合はデータ数に相応するものが確率の合計（確率の合計は必ず1）となるため、データ数で割る必要はなくなります。

*5 : 例えば、\( X \) の単位が \( \mathrm \) なら分散 \( V(X) \) の単位は \( \mathrm^2 \) となります。

*6 : 計算を楽にするために、それぞれの \( X \) における人数が小数にならず、かつ 全体の人数がなるべく少ない人数になるように 、全体をなるべく小さい数でかけるのがポイントです。例えば、今回の場合は4を掛けることで0回の人が1人、1回の人が2人、2回の人が1人と小数にならず、かつ少ない人数になっていますよね。

公開日： 2020年2月22日 更新日： 2020年2月22日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる線形代数 第19羽 行列を用いた差分方程式（漸化式）の解き方 うさぎでもわかる信号処理・制御工学 第13羽 離散フーリエ変換(DFT) うさぎ塾 微積分総復習 Part1 極限編 うさぎでもわかる線形代数 第02羽 行列と連立方程式 ページング（ページフォルト・LRUアルゴリズム）について（基本情報・応用情報） うさぎでもわかる確率・統計 カイ2乗分布のいろは① 母分散の推定 【基本情報対策】うさぎでもわかるソフトウェア工学 Part07 UML前編（クラス図とオブジェクト図） うさぎでもわかる計算機システム Part15 Unixのファイルシステムその2 iノードとは うさぎ模試 データ構造とアルゴリズム（C言語スキルチェック） 1週間で完成！ うさぎでもわかる確率分布と統計的な推測 2日目 二項分布

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    目次

    1. １．確率変数・確率分布
      1. (1) 確率変数
      2. (2) 確率分布
      1. (1) 平均（期待値）
      2. (2) 分散
        1. 分散の公式の使い分け
        1. (1) Xがa倍になった場合
        2. (2) Xに定数 b を足した場合
        3. (3) XがaX + bになったとき
        1. (1) サイコロ
        2. (2) くじ引き（元に戻すVer）
        3. (3) くじ引き（元に戻さないVer）
        1. (1) 和の平均 E(X+Y) = 平均の和 E(X)+E(Y)
          1. (i) 地道にもとめてみる
          2. (ii) 公式を使う
          1. (i) 地道にもとめてみる
          2. (ii) 公式を使う
          1. (i) 地道にもとめてみる
          2. (ii) 公式を使う
          1. (1) 平均・分散・標準偏差
            1. 平均 E(X)
            2. 分散 V(X)
            3. 標準偏差 σ(X)
            1. 平均
            2. 分散
            3. 標準偏差（分散とほぼ同じなので覚える必要はない）

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            1. １．確率変数・確率分布
              1. (1) 確率変数
              2. (2) 確率分布
              1. (1) 平均（期待値）
              2. (2) 分散
                1. 分散の公式の使い分け
                1. (1) Xがa倍になった場合
                2. (2) Xに定数 b を足した場合
                3. (3) XがaX + bになったとき
                1. (1) サイコロ
                2. (2) くじ引き（元に戻すVer）
                3. (3) くじ引き（元に戻さないVer）
                1. (1) 和の平均 E(X+Y) = 平均の和 E(X)+E(Y)
                  1. (i) 地道にもとめてみる
                  2. (ii) 公式を使う
                  1. (i) 地道にもとめてみる
                  2. (ii) 公式を使う
                  1. (i) 地道にもとめてみる
                  2. (ii) 公式を使う
                  1. (1) 平均・分散・標準偏差
                    1. 平均 E(X)
                    2. 分散 V(X)
                    3. 標準偏差 σ(X)
                    1. 平均
                    2. 分散
                    3. 標準偏差（分散とほぼ同じなので覚える必要はない）