うさぎでもわかる解析 Part18 偏微分を用いた陰関数微分・陰関数定理
3変数 \( x,y,z \) で表される陰関数表記の式 \( f(x,y,z) = 0 \) の点 \( (a,b,c) \) における \( z \) の偏微分係数 \( s \), \( t \) は、\[s = \frac (a,b,c) \ \ \ t = \frac (a,b,c)\]と求められる。また、偏微分係数を用いると接平面は\[z = s(x-a) + t(y-b) + c\]で求められる。
例題4つぎの曲線\[ x^2 + y^2 + z^2 = 6 \]の点 (1,2,1) における \( z \) の偏微分係数を求め、さらに接線の方程式を求めなさい。
解説4よって接平面の方程式は、\[\beginz & = -1(x-1) - 2(y-2) + 1 \\ & = -x - 2y + 6\end \]となる。
６．練習問題
練習1 陰関数の2次導関数つぎの方程式\[ x^2 - 2xy + 2y^2 = 4 \]で定まる関数 \( y = f(x) \) の導関数 \( \frac \) および2次導関数 \( \frac \) を求めなさい。
練習2 陰関数の存在判定次の曲線\[ \frac + \frac = 2\]の(1), (2) の点における陰関数 \( y = F(x) \) が存在するかどうか調べ、存在する場合は各点における偏微分係数を求めなさい。
練習3 陰関数表記の方程式の接線次の曲線\[x^3 - 2y^2 + 2xy + x = 4\]の点 (2,-1) における \( y \) の微分係数を求め、さらに接線の方程式を求めなさい。
練習4 陰関数表記の方程式の接平面次の曲線\[x^2 + 3xy - 2yz + xz - y^2\]の点 (1,2,1) における \( z \) の偏微分係数を求め、さらに接平面の方程式を求めなさい。
７．練習問題の答え
解答1\[ f(x,y,z) = x^2 - 2xy + 2y^2 -4 = 0 \]し、まずは \( \frac \) を求める。
[パターン1：偏微分で求める]
[パターン2：素直に両辺をxで微分]
解答2\[ f(x,y) = \frac + \frac - 1 = 0 \]とし、まずは \( \frac \) を求める。
\( f_y (2,0) = 0 \) となるので陰関数は存在しない。
\[ f_y (\sqrt, \sqrt ) = \frac \not = 0 \]より陰関数が存在する。
解答3 解答4よって接平面の方程式は、\[\beginz & = 3(x-1) - (y-2) + 1 \\ & = 3x - y \end \]となる。
８．さいごに
*1 : 教科書や他のサイトには \( f(x,y)= 0 \) のように \( =0 \) の形で表されているものもありますが、まぁ変形すれば陰関数にはできるのでどちらでもいいとは思います……。
*3 : 変形のイメージは\[\begin & \frac x^2 - \frac \frac 4y^2 \\ = & 2x - \frac 8y = 0 \end \]
公開日： 2019年9月16日 更新日： 2019年9月16日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる離散数学 番外編1 数学的帰納法 （論文紹介） メガネ不要の3Dディスプレイ Tensor Display（テンソルディスプレイ） うさぎでもわかる場合の数 順列と組み合わせの違い うさぎでもわかる2分探索木 前編 2分探索木の基礎（表現・追加・削除） 【基本情報対策】うさぎでもわかるソフトウェア工学 Part09 モジュール分割とモジュール独立度（強度、結合度） うさぎでもわかる微分方程式 Part09 定数変化法を用いた2階非同次線形微分方程式の一般解の求め方 うさぎでもわかる離散数学 番外編3 差分方程式（漸化式） 後編 うさぎでもわかる線形代数 応用編第6羽 シルベスターの判定法（正定値・半正定値の判定） うさぎでもわかる解析 Part15 合成関数の偏微分 うさぎでもわかる解析 Part19 2変数マクローリン展開・テイラー展開カテゴリー
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