うさぎでもわかる確率・統計 ポアソン分布
よって、バグが2個以下である確率 \( P( X \leqq 2) \) は、つぎのように計算できます。\[\beginP( X \leqq 2) & = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) + P( X = 2 )\\ & = e^ + 3 e^ + \frac e^\\ & = \frac e^\\ & = \frac \cdot \frac\\ & = \frac\\ & = 0.423\end\]
バグが3個以上潜んでいる確率 \( P( X \geqq 3) \) は、全体(1)から、バグが2個以下である確率 \( P( X \leqq 2) \) を引けばよいので、計算結果はつぎの通りとなります。\[\beginP( X \geqq 3) & = 1 - P( X \leqq 2)\\ & = 1 - 0.423\\ & = 0.577\end\]よって、バグが3つ以上潜んでいる確率は 0.58 と求められます。
5. 練習問題で確認！
※ 必要であれば、\( e = 2.718 \)、\( e^2 = 7.389 \)、\( e^3 = 20.085 \) 、\( e^4 = 54.598 \) としなさい。
6. 練習問題の答え
15分あたり平均2人の来店があるということは、30分あたりの来店人数の期待値は次のように求められます。\[\frac \times 2 = 4\]
30分あたりの来店人数の期待値は4人なので、ポアソン分布のパラメータ \( \textcolor \) は、 \( \textcolor \) となります。
今回求めたい確率は、30分間に1人も来店しない確率 \( P (X = \textcolor ) \) なので、\( \textcolor \) ですね。
[i] 30分間に1人も来店しない場合の確率 \( P( X = 0) \) [ii> 30分間に1人来店する場合の確率 \( P( X = 1) \) [iii] 30分間に2人来店する場合の確率 \( P( X = 2) \)
[i] 30分間に1人も来店しない場合の確率 \( P(X = \textcolor) \)
[ii] 30分間に1人来店する場合の確率 \( P(X = \textcolor) \)
[iii] 30分間に2人来店する場合の確率 \( P(X = \textcolor) \)
よって、30分間の来店人数が2人以下となる確率 \( P( X \leqq 2) \) は、つぎのように計算できます。\[\beginP( X \leqq 2) & = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) + P( X = 2 )\\ & = e^ + 4 e^ + 8 e^\\ & = 13 e^\\ & = 13 \cdot \frac\\ & = 0.238\end\]
よって、30分間の来店人数が2人以下となる確率は 0.24 と求められます。
注釈 ↑ 1 例: コイントスをして表が出るか裏が出るか ↑ 2 。ただし、赤色部分の式変形で \( e \) の定義式\[\lim_ \left( 1 + \frac< 1 > < n >\right)^n = e\]を使った変形をしているため注意です。具体的には、つぎのように変形をして赤色の式部分が \( e^ \) となることを導出しています。\[\begin\lim_ \left( 1 - \frac< \lambda > < n >\right)^n & = \lim_ \left( 1 - \frac< \lambda > < - n' \lambda>\right)^ < - n' \lambda >\ \ \ \left( n = - n' \lambda , \ \ \ n' \to \infty\right)\\ & = \lim_ \left( 1 + \frac< 1 > < n' >\right)^ < - n' \lambda >\\ & = \lim_ \left\< \underbrace< \left( 1 + \frac< 1 > < n' >\right)^ >_ \right\>^ < - \lambda >\\ & = e^< - \lambda >\end\]※ \ ↑ 3 こんな計算、手では絶対したくありませんよね！ 公開日： 2024年8月24日 更新日： 2024年8月25日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 うさぎでもわかる線形代数 第03羽 逆行列 うさぎでもわかる線形代数 応用編第6羽 シルベスターの判定法（正定値・半正定値の判定） 【片対数・両対数グラフ】うさぎでもわかる実験の基礎 第3羽 片対数・両対数グラフを用いた最小2乗法 うさぎでもわかる線形代数 第06羽 1次独立・1次従属 うさぎでもわかる微分方程式 Part05 2階線形微分方程式の基礎（解の構造・ロンスキアン） うさぎでもわかる確率・統計 単回帰分析 うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第15羽 最大フロー・最小カットの求め方 うさぎでもわかる線形代数 応用編第1羽 複素数とベクトル・複素数と行列 うさぎでもわかる確率・統計 F分布のいろは③ 一元配置分散分析 うさぎでもわかる確率・統計 指数分布カテゴリー
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目次
- 1. ポアソン分布とは？
- 2. ポアソン分布を用いた確率導出公式
- 公式導出
- (1) ポアソン分布の期待値 \( E(X) \)
- (2) ポアソン分布の分散 \( V(X) \)
- (1) 例題1．
- (2) 例題2．
工業大学生ももやまのうさぎ塾 (Momousagi Academy)
コンピュータグラフィックス コンピュータビジョン- 1. ポアソン分布とは？
- 2. ポアソン分布を用いた確率導出公式
- 公式導出
- (1) ポアソン分布の期待値 \( E(X) \)
- (2) ポアソン分布の分散 \( V(X) \)
- (1) 例題1．
- (2) 例題2．