べき関数（y=x^n）の微分公式の３通りの証明
lim h → 0 ( n x n − 1 + n C 2 h x n − 2 + ⋯ + h n − 1 ) = n x n − 1 \displaystyle\lim_(nx^+_n\mathrm_2hx^+\cdots +h^) =nx^ h → 0 lim ( n x n − 1 + n C 2 h x n − 2 + ⋯ + h n − 1 ) = n x n − 1
を得る（第二項以降は h → 0 h\to 0 h → 0 で全部消える）。
n n n に関する数学的帰納法で証明する。
- n = 1 n=1 n = 1 のとき， x x x の微分は lim h → 0 ( x + h ) − x h = 1 \displaystyle\lim_\dfrac=1 h → 0 lim h ( x + h ) − x = 1 となり公式は正しい
- n = k n=k n = k のとき正しい，つまり ( x k ) ′ = k x k − 1 (x^k)'=kx^ ( x k ) ′ = k x k − 1 と仮定すると，積の微分公式より ( x k + 1 ) ′ = ( x ⋅ x k ) ′ (x^)'=(x\cdot x^k)' ( x k + 1 ) ′ = ( x ⋅ x k ) ′ = 1 ⋅ x k + x ⋅ ( k x k − 1 ) = ( k + 1 ) x k =1\cdot x^k+x\cdot (kx^) =(k+1)x^k = 1 ⋅ x k + x ⋅ ( k x k − 1 ) = ( k + 1 ) x k となり n = k + 1 n=k+1 n = k + 1 のときも正しい。
・ x > 0 x > 0 x > 0 の範囲について
y = x n y=x^n y = x n の両辺の対数を取ると， log y = n log x \log y=n\log x lo g y = n lo g x
両辺を x x x で微分すると， y ′ y = n x \dfrac=\dfrac y y ′ = x n
よって， y ′ = n y x = n x n − 1 y'=\dfrac=nx^ y ′ = x n y = n x n − 1
n n n が偶数のとき， f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) は奇関数。
n n n が奇数のとき， f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) は偶関数（定義からも分かるし，グラフの形状からも分かる）である。これと x > 0 x > 0 x > 0 の場合の結果よりOK。
・ x = 0 x=0 x = 0 について
となり， y ′ = n x n − 1 y'=nx^ y ′ = n x n − 1 を満たしている。
べき関数 y = x n y=x^n y = x n の微分公式の証明に，より難しい関数 y = log x y=\log x y = lo g x の微分公式を用いるので，私はあまり好きではありません。ただ，この方法を使えばより一般の場合（冒頭の公式2）も証明できます。
因数分解公式（n乗の差，和）で紹介した， a n − b n a^n-b^n a n − b n の因数分解公式を使って証明します。
微分の定義より， x n x^n x n の導関数は，
lim h → 0 ( x + h ) n − x n h \displaystyle\lim_\dfrac h → 0 lim h ( x + h ) n − x n
これを h h h で割って h → 0 h\to 0 h → 0 とすると，各項が x n − 1 x^ x n − 1 に収束する。また，項の数は n n n である。よって，求める導関数は n x n − 1 nx^ n x n − 1 となる。
さらに， a n − b n a^n-b^n a n − b n の因数分解公式をもう一度使うと， x n m x^> x m n （ m , n m, n m , n は正の整数）の微分公式も証明できてしまいます！
具体的には， a − b = a m − b m a m − 1 + a m − 2 b + ⋯ + b m − 1 a-b=\dfrac+a^b+\dots +b^> a − b = a m − 1 + a m − 2 b + ⋯ + b m − 1 a m − b m に対して， a = ( x + h ) n m , b = x n m a=(x+h)^>,b=x^> a = ( x + h ) m n , b = x m n とした上で同じように計算します。すると，導関数が n m x n m − 1 \dfracx^-1> m n x m n − 1 になることがわかります。
x n x^n x n の微分公式と合成関数の微分公式を認めた上で， x n m x^> x m n の微分公式を導出する方法です。
d d x < ( x n m ) m >= d d x ( x n ) \dfrac\left\=\dfrac(x^n) d x d < ( x m n ) m >= d x d ( x n )
左辺に合成関数の微分公式，右辺に x n x^n x n の微分公式を使うと， m ( x n m ) m − 1 d d x ( x n m ) = n x n − 1 m(x^>)^\dfrac(x^>)=nx^ m ( x m n ) m − 1 d x d ( x m n ) = n x n − 1
よって， d d x ( x n m ) = n x n − 1 m ( x n m ) m − 1 = n m x n − 1 − n + n m = n m x n m − 1 \dfrac(x^>)=\dfrac>)^>\\ =\dfracx^\\ =\dfracx^-1> d x d ( x m n ) = m ( x m n ) m − 1 n x n − 1 = m n x n − 1 − n + m n = m n x m n − 1
東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る