指数関数y=a^xの微分公式の４通りの証明
a x lim h → 0 e log a h − 1 log a h ⋅ log a h h = a x lim h → 0 e log a h − 1 log a h ⋅ h log a h = a x log a lim h → 0 e log a h − 1 log a h a^x\displaystyle\lim_\dfrac\cdot\dfrac\\ =a^x\displaystyle\lim_\dfrac\cdot\dfrac\\ =a^x\log a\displaystyle\lim_\dfrac a x h → 0 lim lo g a h e l o g a h − 1 ⋅ h lo g a h = a x h → 0 lim lo g a h e l o g a h − 1 ⋅ h h lo g a = a x lo g a h → 0 lim lo g a h e l o g a h − 1
となる。ただし，1つめの等号では対数(log)の公式の1つである log a h = h log a \log a^h=h\log a lo g a h = h lo g a を用いた。
さらに， h → 0 h\to 0 h → 0 のとき log a h → 0 \log a^h\to 0 lo g a h → 0 であることと， lim t → 0 e t − 1 t = 1 \displaystyle\lim_\dfrac=1 t → 0 lim t e t − 1 = 1 （→指数関数と対数関数の極限の公式）を使うと，上式の極限部分は 1 1 1 となる。つまり，上式は a x log a a^x\log a a x lo g a となる。
y = a x y=a^x y = a x の対数を取る： log y = x log a \log y=x\log a lo g y = x lo g a
両辺微分： y ′ y = log a \dfrac=\log a y y ′ = lo g a
よって， y ′ = y log a = a x log a y'=y\log a=a^x\log a y ′ = y lo g a = a x lo g a
y = a x y=a^x y = a x を x x x について解くと， x = log a y = log y log a x=\log_a y=\dfrac x = lo g a y = lo g a lo g y である。
これを y y y で微分すると， d x d y = 1 y log a \dfrac=\dfrac d y d x = y lo g a 1
d y d x = y log a = a x log a \dfrac=y\log a=a^x\log a d x d y = y lo g a = a x lo g a
前提： ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x ( e x ) ′ = e x ，合成関数の微分
a x = e log a x = e x log a a^x=e^=e^ a x = e l o g a x = e x l o g a
であるので，合成関数の微分公式より ( a x ) ′ = log a ( e x log a ) = a x log a (a^x)'=\log a(e^)=a^x\log a ( a x ) ′ = lo g a ( e x l o g a ) = a x lo g a
一般の指数関数 a x a^x a x を，一番扱いやすい指数関数 e x e^x e x に帰着させる公式： a x = e x log a a^x=e^ a x = e x l o g a はかなり重要です。
東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る