偏光のEモードとBモード
\[\begin J &= \frac \left( \begin a_1^2 + a_1^2 + a_2^2 - a_2^2 & 2 a_1 a_2 (\cos \delta - i \sin \delta) \\ 2 a_1 a_2 (\cos \delta + i \sin \delta) & a_2^2 + a_2^2 + a_1^2 - a_2^2 \end \right) \\ &= \frac \left( \begin a_1^2 + a_2^2 & 0 \\ 0 & a_1^2 + a_2^2 \end \right) + \frac \left( \begin a_1^2 - a_2^2 & 0 \\ 0 & -(a_1^2 - a_2^2) \end \right) \\ & \qquad \qquad + \frac \left( \begin 0 & 2 a_1 a_2 \cos \delta \\ 2 a_1 a_2 \cos \delta & 0 \end \right) + \frac \left( \begin 0 & -2 a_1 a_2 i \sin \delta \\ 2 a_1 a_2 i \sin \delta & 0 \end \right) \end\]
\[I = a_1^2 + a_2^2, \quad Q = a_1^2 - a_2^2, \quad U = 2 a_1 a_2 \cos \delta, \quad V = 2 a_1 a_2 \sin \delta \tag\]
\[J = \frac \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end \right) + \frac \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & -1 \end \right) + \frac \left( \begin 0 & 1 \\ 1 & 0 \end \right) + \frac \left( \begin 0 & -i \\ i & 0 \end \right) \tag\]
復習: ストークスパラメータ
\(\delta = 0, Q>0, U=0\) \[U = 2 a_1 a_2 = 0\]より\(a_1, a_2\)のどちらかが0です。さらに\(Q = a_1^2 - a_2^2 > 0\)より\(a_2=0\)とわかります。よって\(x\)方向にのみ振動するような電場となります。
\(\delta = 0, Q \(\delta = 0, Q=0, U>0\) \[Q = a_1^2 - a_2^2 = 0 \ \Longrightarrow \ a_1 = \pm a_2\]さらに\(\delta =0\)より\(U = 2a_1 a_2 > 0\)より、\(a_1 = a_2\)とわかります。よってこれは\(y=x\)上を振動するような電場です。
\(\delta = 0, Q=0, UCoherency matrixのフーリエ変換
宇宙のある領域が\(\delta=0\)、すなわち\(V=0\)で直線偏光している場合を考えましょう。空の座標を\(\mathbf=(x, y)\)で表すとします。偏光観測により\(I(x, y), Q(x, y), U(x, y)\)の分布が、この空の領域に対してすでに得られているとしましょう。これらを\(e^ \cdot \mathbf> \ (\mathbf = (k_x, k_y))\)によりフーリエ変換した結果である\(\hat(\mathbf), \hat (\mathbf), \hat (\mathbf)\)を用いると、coherency matrixのフーリエスペクトルは
\[\hat (\mathbf) = \frac \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end\right) + \frac \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & -1 \end\right) + \frac \left( \begin 0 & 1 \\ 1 & 0 \end\right) \tag\]
のように書くことができます。波数ベクトル\(\mathbf\)と\(x\)軸との成す角を\(\theta\)(\(x\)軸から\(\mathbf\)へ反時計回りに正に取ります)とします。このとき座標を反時計回りに\(\theta\)回転させ、\(x\)軸と\(\mathbf\)方向を一致させた新しい座標系を\((x', y')\)とします。座標変換後の\('\)系でのcoherency matrixがどのように書けるのかを示しましょう。\((x, y)\)座標系を角度\(\theta\)回転させれば良いので、回転行列\(R(\theta)\)を用いた行列の座標変換より
\[\hat' (\mathbf) = R(\theta) \hat (\mathbf) R(\theta)^ = \left( \begin \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end \right) \hat (\mathbf) \left( \begin \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end \right)\] \[\left( \begin \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end \right) \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end \right) \left( \begin \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end \right) = \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end \right)\] \[\left( \begin \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end \right) \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & -1 \end \right) \left( \begin \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end \right) = \left( \begin \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ -\sin 2\theta & - \cos 2\theta \end \right)\] \[\left( \begin \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end \right) \left( \begin 0 & 1 \\ 1 & 0 \end \right) \left( \begin \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end \right) = \left( \begin \sin 2\theta & \cos 2\theta \\ \cos 2\theta & -\sin 2\theta \end \right)\]
\[\hat' (\mathbf) = \frac \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end\right) + \frac \left( \begin \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ - \sin 2\theta & - \cos 2\theta \end\right) + \frac \left( \begin \sin 2\theta & \cos 2\theta \\ \cos 2\theta & -\sin 2\theta \end\right)\]
\[\hat (\mathbf) \equiv \hat (\mathbf) \cos 2\theta + \hat (\mathbf) \sin 2\theta \tag\] \[\hat (\mathbf) \equiv - \hat (\mathbf) \sin 2\theta + \hat (\mathbf) \cos 2\theta \tag\]
\[\hat' (\mathbf) = \frac \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end\right) + \frac \left( \begin 1 & 0 \\ 0 & -1 \end\right) + \frac \left( \begin 0 & 1 \\ 1 & 0 \end\right) \tag\]
偏光のEモードとBモード
\[\hat (\mathbf) = \hat (\mathbf), \quad \hat (\mathbf) = 0\]
です。これはストークスパラメータの復習部分で考えた、\(\delta = 0, Q>0, U=0\)または\(\delta = 0, Q\)との相対関係に注意して図を描くと、以下のようになります。
\[\hat (\mathbf) = \hat (\mathbf), \quad \hat (\mathbf) = 0\]
すると、これはストークスパラメータの復習部分で考えた、\(\delta = 0, Q=0, U>0\)または\(\delta = 0, Q=0, U