【空間図形：立体の切断】切断が「見える」ようになる3問題｜高さ・体積・切り口の解き方を完全整理

図の立体 $\mathrm-\mathrm$ は、正方形 $\mathrm$ を底面とし、$\mathrm=4\mathrm$, $\mathrm=8\mathrm$ の直方体である。図のように、辺 $\mathrm$ 上を動く点 $\mathrm$ は、頂点 $\mathrm$ を出発して 毎秒 $1\mathrm$ の速さで点 $\mathrm$ に到達するまで動き、辺 $\mathrm$ 上を動く点 $\mathrm$ は、頂点 $\mathrm$ を出発して 毎秒 $1\mathrm$ の速さで点 $\mathrm$ に到達するまで動き、辺 $\mathrm$ 上を動く点 $\mathrm$ は、頂点 $\mathrm$ を出発して 毎秒 $2\mathrm$ の速さで点 $\mathrm$ に到達するまで動く。3 点 $\mathrm$, $\mathrm$, $\mathrm$ が同時に出発するとき、

(1) $\triangle\mathrm$ が二等辺三角形になるのは何秒後と何秒後か？

(2) 1 秒後のときの四面体 $\mathrm$ の頂点 $\mathrm$ から底面 $\mathrm$ に下した垂線の長さは何 $\mathrm$ か？

まずは三角形 $\mathrm$ がどのように変化していくか、イメージをつかみましょう。次のアニメーションを見ると、三角形が時間とともにどのように形を変えるかが分かります。（二等辺になる瞬間は 2 回あります。）

解(1). 二等辺三角形になる時刻 $t$ 秒後の辺の長さ

ここでは、三角形 $\mathrm$ の 3 辺の長さを時間 $t$ の式で表し、二等辺三角形になる時刻を求めます。

$\mathrm^2 =$ $(4-t)^2$ $+$ $t^2$ $ = 2t^2-8t+16$
$\mathrm^2 =$ $t^2$ $+$ $(2t)^2$ $ = 5t^2$
$\mathrm^2 =$ $(2t)^2$ $+$ $(4-t)^2$ $ = 5t^2-8t+16$

二等辺三角形になるのは、$\mathrm=\mathrm$, $\mathrm=\mathrm$, $\mathrm=\mathrm$ のいずれかです。

$\mathrm=\mathrm$ の場合 $\mathrm=\mathrm$ の場合 $\mathrm=\mathrm$ の場合よって、二等辺三角形になるのは

$\displaystyle\frac$ 秒後と 2 秒後。

解(2). 頂点 $\mathrm$ から底面 $\mathrm$ に下ろした垂線の長さ

ここでは、四面体 $\mathrm$ の体積を 2 通りの方法で表し、高さを求めます。

底面を直角三角形と見た体積（例えば $\triangle\mathrm$）

このとき、$\mathrm=3$, $\mathrm=1$, $\mathrm=2$ なので、四面体 $\mathrm$ の体積は

底面を $\triangle\mathrm$ と見る

次に、底面を $\triangle\mathrm$ と見て、その面積を求めます。

$\mathrm$ から $\mathrm$ に下ろした垂線の足を $\mathrm$ とし、$\mathrm=x$, $\mathrm=y$ と置きます。

直角三角形 $\triangle\mathrm$, $\triangle\mathrm$ に三平方の定理を適用すると、

既知の体積から高さを求める

体積の公式 $V=\displaystyle\frac13Sh$ に \eqref \eqref を代入すると、

\[ 1=\frac13\cdot \frac72\cdot h \]

解説1：四面体の高さを求めるアイデアについて直角三角形の高さは“面積から逆算”する｜相似より楽な裏ワザ的発想直角三角形の高さは相似より“面積から逆算”すると一瞬で求まります。裏ワザ的に楽な方法で、空間図形にもつながる高さの本質を解説します。 www.kashi-math.com 解説2：△PQRの高さを求めるアイデアについて【外接円：半径の求め方】円周角・相似・三平方をつないで理解する｜高校入試レベルまで一気に整理三角形の外接円の半径を、円周角の定理・相似・三平方をつないで理解する回です。図とアニメーションで発想の流れを整理し、高校入試レベルまで一気に深めます。 www.kashi-math.com まとめ

三辺の長さが分かっている三角形の高さは、三平方の定理を2回適用することで求められます。

【外接円：半径の求め方】円周角・相似・三平方をつないで理解する｜高校入試レベルまで一気に整理三角形の外接円の半径を、円周角の定理・相似・三平方をつないで理解する回です。図とアニメーションで発想の流れを整理し、高校入試レベルまで一気に深めます。 www.kashi-math.com 【三平方の定理：特殊角編】105°・75°は三角定規で見抜く｜高校入試で差がつく発想 www.kashi-math.com

また、平面に下した垂線の長さは、体積を 2 通りに捉えることで求められることも確認しました。下記はこの発想を平面図形で確認する記事です。

直角三角形の高さは“面積から逆算”する｜相似より楽な裏ワザ的発想直角三角形の高さは相似より“面積から逆算”すると一瞬で求まります。裏ワザ的に楽な方法で、空間図形にもつながる高さの本質を解説します。 www.kashi-math.com

まとめ

高さは三平方の定理で一瞬で求まる。（問題1,2）
切り口は空間のままでは構造がつかみにくいが、「台形として見られないか」「二等辺三角形として捉えられないか」と眺め直すと、図形の特徴、長さや平行、高さの関係が一気に見えるようになる。（問題1,2）
直線の式は「傾き＋1点」で一行で書ける。（問題1,2）
体積は底面の捉え方を変えると一気に求まる。（問題1,2の別解）
錐体の高さは体積の逆算で求められる。（問題3）

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