うさぎでもわかる線形代数 補充3 平面の方程式
すると、\( \overrightarrow \) は、媒介変数 \( s \), \( t \) を用いて\[\begin\overrightarrow & = \overrightarrow + \overrightarrow\\ & = \left( \begin 1 \\ 3 \\ 2 \end \right) + s \vec + t \vec\\ & =\left( \begin 1 \\ 3 \\ 2 \end \right) + s \left( \begin 1 \\ -2 \\ 1 \end \right) + t \left( \begin 3 \\ -1 \\ -1 \end \right)\\ & = \left( \begin s+3t+1 \\ -2s-t+3 \\ s-t+2 \end \right)\end\]と求められる。
ここで、点Pの座標を \( (x,y,z) \) とすると、\[\left( \begin x \\ y \\ z \end \right) = \left( \begin s+3t+1 \\ -2s-t+3 \\ s-t+2 \end \right)\]となるので、直線 \( l \) の方程式は媒介変数 \( s \), \( t \) を用いて\[\left\< \begin x = s + 3t + 1 \\ y = -2s - t + 3 \\ z = s - t + 2 \end\right.\]となる。
２．法線ベクトルと平面の方程式
(1) 法線ベクトルから平面の方程式を求める方法媒介変数 \( s \), \( t \) を変形すれば、\( ax+by+cz+d = 0 \) のように \( s \), \( t \) を使わずに平面の方程式を表すことができますね。
そこで、平面の法線ベクトル \( \vec \) から平面の方程式を出す方法を考えてみましょう。
法線ベクトル \( \vec \) とは平面と垂直なベクトルのことでしたね。
ここで、平行なベクトル \( \vec \) として、\( \overrightarrow \) を考えます。
1点と法線から平面の方程式を求める公式また、上の公式から \( ax + by + cz + d = 0 \) の係数がわかれば法線ベクトル \( \vec \) も下のようにあっという間に求められます。
(2) 法線ベクトルと外積ということで、平面に平行な2本のベクトル \( \vec \), \( \vec \) から法線ベクトル、つまり平面に垂直なベクトル \( \vec \) を求める方法を考えましょう。
ここで、ベクトル \( \vec \) と \( \vec \) は両方とも \( \vec \) と直交していますね。
2つのベクトル \( \vec \), \( \vec \) に直交するベクトル と聞いてなにか思い浮かびませんか…？
ここで、大学の線形代数で習った 外積 が役に立つのです！（補充1）
外積 \( \vec \times \vec \) は2つのベクトル \( \vec \), \( \vec \) に直交するベクトルでしたよね。
なので、\[\vec = \vec \times \vec\]を計算することで法線ベクトルを求めることができるのです！
（ちなみに \( \vec \) と \( \vec \) の計算順序を逆にすると向きが反対になります。しかし、向きが反対でも法線ベクトルに変わりはないので、法線ベクトルを計算する際には外積の計算順序を考慮する必要はありません。）
もし、外積がわからない or よく思い出せないという人は下の記事で復習しましょう。
ある点A (1,3,2) を通り、\[\vec = \left( \begin 1 \\ -2 \\ 1 \end \right), \ \ \ \vec = \left( \begin 3 \\ -1 \\ -1 \end \right)\]に平行な平面を考える。
(1) 外積 \( \vec \times \vec \) を計算しなさい。
(2) 平面の方程式を \( ax+by+cz+d=0 \) の形で表しなさい。
解答2
外積 \( \vec \times \vec \) は\[\begin\vec \times \vec & = \left( \begin 1 \\ -2 \\ 1 \end \right) \times \left( \begin 3 \\ -1 \\ -1 \end \right)\\ & = \left( \begin 2-(-1) \\ 3-(-1) \\ -1-(-6) \end \right)\\ & = \left( \begin 3 \\ 4 \\ 5 \end \right)\end\]と計算できる。
外積 \( \vec \times \vec \) は平面に平行なベクトルと直交するため、法線ベクトル \( \vec \) となる。
ここで、平面上にある点Pをおく。すると、\( \overrightarrow \) と \( \vec \) は直交するので、\[\overrightarrow \cdot \vec = 0 \]の関係式が成り立つ。
ここで、点Pの座標を \( (x,y,z) \) とすると、\[\begin\overrightarrow & = \overrightarrow - \overrightarrow\\ & = \left( \begin x \\ y \\ z \end \right) - \left( \begin 1 \\ 3 \\ 2 \end \right)\\ & = \left( \begin x-1 \\ y-3 \\ z-2 \end \right)\end\]となるので、\[\begin\vec \cdot \vec & = 0 \\ \left( \begin x-1 \\ y-3 \\ z-2 \end \right) \cdot \left( \begin 3 \\ 4 \\ 5 \end \right)\end\]となるので、\[3(x-1)+4(y-3)+5(z-2)=0\]の関係式が成り立ちますね。
あとは \( ax+by+cz+d=0 \) の形に直すと、\[3x+4y+5z-25=0\]となります。
[もっと早く答えを出す方法]
実は上の内積の変形を使わなくても、法線ベクトルさえ求めれれば、係数の \( a \), \( b \), \( c \) は決定するので、適当な点を1点選んで\[ax + by + cz + d = 0\]の方程式が成り立つような \( d \) を求めるだけでOK。
今回の場合、法線ベクトル \( \vec \) は、\[\vec = \left( \begin \color \\ \color \\ \color \end \right)\]となるので、方程式\[\colorx + \color y+ \color z + d = 0\]にある1点（\( (x,y,z) = (1,3,2) \) など）を代入し、\( d = -25 \) を得てから\[3x + 4y + 5z - 25 = 0\]とした方が圧倒的に早い。
３．平面内の3点から求める方法
(1) 外積を用いて解く方法点A (1,-2,2), B(-1,-2,1), C(1,-1,1) の3点を通る平面の方程式を \( ax + by + cz + d = 0 \) の形で表しなさい。
解説3
まずは、平面に平行なベクトルとして \( \overrightarrow \), \( \overrightarrow \) を取ります。
それぞれの成分は\[\begin\overrightarrow & = \overrightarrow - \overrightarrow\\ & = \left( \begin -1 \\ -2 \\ 1 \end \right) - \left( \begin 1 \\ -2 \\ 2 \end \right)\\ & = \left( \begin -2 \\ 0 \\ -1 \end \right)\end\]\[\begin\overrightarrow & = \overrightarrow - \overrightarrow\\ & = \left( \begin 1 \\ -1 \\ 1 \end \right) - \left( \begin 1 \\ -2 \\ 2 \end \right)\\ & = \left( \begin 0 \\ 1 \\ -1 \end \right)\end\]となる。
ここで、法線ベクトル \( \vec \) は \( \overrightarrow \), \( \overrightarrow \) の外積 \( \overrightarrow \times \overrightarrow \) で求められる。\[\begin\vec & = \overrightarrow \times \overrightarrow\\ & = \left( \begin -2 \\ 0 \\ -1 \end \right) \times \left( \begin 0 \\ 1 \\ -1 \end \right)\\ & = \left( \begin 1 \\ -2 \\ -2 \end \right)\end\]と計算でき、法線ベクトルとなる。
ここで、平面上にある点Pをおく。すると、\( \overrightarrow \) と \( \vec \) は直交するので、\[\overrightarrow \cdot \vec = 0 \]の関係式が成り立つ。
（\( \overrightarrow \) や \( \overrightarrow \) を使ってもOK）
ここで、点Pの座標を \( (x,y,z) \) とすると、\[\begin\overrightarrow & = \overrightarrow - \overrightarrow\\ & = \left( \begin x \\ y \\ z \end \right) - \left( \begin 1 \\ -2 \\ 2 \end \right)\\ & = \left( \begin x-1 \\ y+2 \\ z-2 \end \right)\end\]となるので、\[\begin\vec \cdot \vec & = 0 \\ \left( \begin x-1 \\ y+2 \\ z-2 \end \right) \cdot \left( \begin 1 \\ -2 \\ -2 \end \right)\end\]となるので、\[1(x-1)-2(y+2)-2(z-2)=0\]の関係式が成立。
あとは \( ax+by+cz+d=0 \) の形に直すと、\[x-2y-2z-1=0\]と答えを出せる。
[もっと早く答えを出す方法]
(2) 連立方程式を解く方法点A (1,-2,2), B(-1,-2,1), C(1,-1,1) の3点を通る平面の方程式を外積を使わずに \( ax + by + cz + d = 0 \) の形で表しなさい。
解説4
点A, B, Cは平面 \( ax + by + cz + d = 0 \) を満たすので、\[\left\< \begin a - 2b + 2c + d = 0 \\ -a - 2b + c + d = 0 \\ a - b + c + d = 0 \end\right.\]の連立方程式を満たしますね。
そこで、\( d = 1 \) と仮定します。
すると、\[\left\< \begin a - 2b + 2c + 1 = 0 \\ -a - 2b + c + 1 = 0 \\ a - b + c + 1 = 0 \end\right.\]となるので、\[\left\< \begin a - 2b + 2c = -1 \\ -a - 2b + 2c = -1 \\ a - b + c = -1 \end\right.\qquad \therefore \quad \left\