うさぎでもわかる離散数学 番外編2 差分方程式（漸化式） 前編
実際に\[a_n = C_1 \alpha^n + C_2 \beta^n\]を代入すると、\[\begina_ + p a_ + q \beta a_ & = 0 \\(C_1 \alpha^n + C_2 \beta^n) + p (C_1 \alpha^ + C_2 \beta^) + q (C_1 \alpha^ + C_2 \beta^) & = 0 \end\]と変形でき、さらに\[C_1 ( \alpha^n + p \alpha^ + q \alpha^ ) + C_2 ( \beta^n + p \beta^ + q \beta^ ) = 0 \tag\]となります。
ここで、\( \alpha^n \), \( \beta^n \) は基本解なので\[\alpha^n + p \alpha^ + q \alpha^ = 0 \\ \beta^n + p \beta^ + q \beta^ = 0\]が成立します。
そのため、(1)式の左辺も = 0 となり、等号も成立します。
そのため、特性方程式で出した基本解 \( \alpha^n \), \( \beta^n \) から\[a_n = C_1 \alpha^n + C_2 \beta^n\]も解であることを示すことができます。
（\( C_1 \), \( C_2 \) はどんな値でもOKな任意定数です。積分定数とかと同じやつだと思ってもらえたらOKです。）
(3) 特性方程式に重解が含まれると… (i) そのままだと解けない理由例えば、\[a_ - 4 a_ + 4 a_ = 0\]の場合、特性方程式は\[t^2 - 4t + 4 = 0 \\(t-2)^2 = 0\]となるので、解が \( t = 2 \) の重解となってしまいます。
なので、解も\[a_n = C_1 2^n + C_2 2^n\]でいいと思いますよね。実はこれがダメなんです。
上の式、任意定数 \( C_1, \( C_2 \) を \( A \) とおくと\[a_n = A 2^n\ \)と表せちゃいますよね。
(ii) 新しい基本解を見つけよう例えば\[a_ - 4 a_ + 4 \beta a_ = 0\]の場合、\( 2^n \) が基本解の1つでしたね。
なるべく \( 2^n \) に近い基本解をもう1つ探しましょう。
そんな基本解に \( n 2^n \) があります。実際に代入すると、\[n 2^n - 4 (n-1) 2^ + 4 (n-2) 2^ = 0 \\ 4n 2^ + (-8n+8) 2^ + (4n-8) 2^ = 0 \\(4n-8n+4n) 2^ + (8-8) 2^ = 0\]となり、\( n 2^n \) も解になることがわかりますね。
なので、任意定数 \( C_1 \), \( C_2 \) を用いて\[a_n = C_1 2^n + n C_2 2^n\]と一般解を求めることができます。
３．隣接３項間差分方程式
\[ a_0 = 2, \ a_1 = 7, \ a_ - 3a_ + 2 a_ = 0 \]
(1) 普通に解いてみるとりあえず、高校のやり方とほぼ同じやり方で解いてみましょう。 まずは特性方程式を解いてみましょう。\( t^2-3t+2=0 \) より \( t = 1,2 \) となる。
\( a_ - a_ = 2(a_ - a_) = 2^2(a_ - a_) =\cdots= 2^n(a_ - a_)= 5 \cdot 2^n \) \( a_ - 2a_ = 1(a_ - 2a_) = 1^2(a_ - 2a_) =\cdots= 1^n(a_ - 2a_) = 3 \)
\( \left\< \begin a_ - \ \ a_ = 5 \cdot 2^n \ \ \cdots (1) \\a_ - 2a_ = 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots (2) \end\right. \)
となり、\( a_ = 5 \cdot 2^n - 3 \ \ [(1)-(2) \)] と求めることができる。
(2) 微分方程式っぽく解く特性方程式\[t^2 - tx + 2 = 0\]の解は \( t = 1,2 \) でしたよね。
なので、解の形を \( C_1, C_2 \) として、\[ a_n = C_1 \cdot 1^n + 2^n \cdot C_2 = C_1 + 2^n C_2 \]と一般解を求めることができますね。
一般解に初項を代入すると、\[C_1 + 2^0 C_2 = C_1 + C_2 = a_0 = 2\]となるので、\[ C_1 + 2^1 C_2 = C_1 + 2 C_2 = a_1 = 7 \]の2つの式が成立する。
\[\left\< \begin C_1 + \ \ C_2 = 2 \ \ \cdots (1) \\ C_1 + 2C_2 = 7 \ \ \cdots (2) \end\right.\]となります。
\[\left( \begin 1 & 1 \\ 1 & 2 \end \right) \left( \begin C_1 \\ C_2 \end \right) =\left( \begin 2 \\ 7 \end \right)\]
\[\left( \begin 1 & 1 \\ 1 & 2 \end \right)^ =\left( \begin 2 & -1 \\ -1 & 1 \end \right)\]
\[\left( \begin C_1 \\ C_2 \end \right) = \left( \begin 1 & 1 \\ 1 & 2 \end \right)^ \left( \begin 2 \\ 7 \end \right)\ = \left( \begin 2 & -1 \\ -1 & 1 \end \right) \left( \begin 2 \\ 7 \end \right)\ = \left( \begin 3 \\ 5 \end \right)\ \]
となる。 （\( A A^ = A^ A = E \) より、元の行列とその行列の逆行列（順番はどっちでもOK）は必ず単位行列）
なので、\( C_1 = -3, C_2 = 5 \) となり、特殊解は\[ a_ = 5 \cdot 2^n - 3 \]となる。
４．隣接３項間差分方程式（重解あり）
重解があるパターンもやってみましょう。\[ a_0 = 2, \ a_1 = 10, \ a_ - 4a_ + 4 a_ = 0\]
(1) 普通に解いてみる\( x^2-4x+4=0 \) より \( x = 2 \) となる。
あれ、重解になる！ 式が１つしかでない！
\[\begina_ - 2a_ = 2(a_ - 2a_) = 2^2(a_ - 2a_) = \cdots = 2^n (a_1 - 2 a_0) = 6 \cdot 2^n \end\]
となりますよね。つぎに両辺を \( 2^ \) で割ります。
さらに \( \frac> = b_ \) とします。すると、\[ b_ - b_ = 3 \] となります。\( \frac> = b_ = 2 \) より、\[b_ = 2 + n \times 3 = 3n + 2\]となる。よって、\( \frac> = b_ \) より、
\[ a_n = 2^n \times b_ = 2^n(3n + 2)\]
と計算でき、特殊解は \( 2^n(3n + 2) \) となる。
(2) 微分方程式っぽく解くそこで、\( 2^n \) の他に \( n 2^n \) も基本解であると考えて、\[a_n = 2^n (C_1n + C_2)
すると、\( C_2 = a_0 = 2 \), \( 2C_1 + 2C_2 = a_1 = 10 \) の2つの式が成立する。
\[\left\< \begin \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C_2 = \ \ 2 \ \ \cdots (1) \\ 2C_1 + 2C_2 = 10 \ \ \cdots (2) \end\right.\]
さすがにこの式は行列使って計算するまでもないので普通に計算する。すると、\( C_1 = 3, C_2= 2 \) となる。よって特殊解は、
５．隣接４項間差分方程式
数列 が をみたしているとき，
(1) 3次方程式 は異なる3実数解 をもつ． の値を求めよ． (2) を(1)で求めたものとする． とおくとき， を の式で表せ． さらに とおくとき， を の式で表せ． (3) のとき， をそれぞれ の式で表せ
引用：大学入試から学ぶ高校数学 横浜国立大学
\[a_ - 10a_ + 31a_ - 30a_ =0, \ a_0 = 1, \ a_1 = 2, \ a_2 = 5 \]
より \( t=2,3,5 \) となる。解の形を任意定数 \( C_1,C_2,C_3 \) を用いて、
\[a_n = 2^n \cdot C_1 + 3^n \cdot B_2 + 5^n \cdot C_3 \]
これが一般解となる。あとは3つの初期値を使って \( C_1,C_2,C_3 \) の3変数の方程式を作るだけ。
(i) \( n = 0 \) のとき、\( C_1 + C_2 + C_3 = a_0 = 1 \) となる。(ii) \( n = 1 \) のとき、\( 2C_1 + 3C_2 + 5C_3 = a_1 = 2 \) となる。(iii) \( n = 2 \) のとき、\( 4C_1 + 9C_2 + 25C_3 = a_2 = 5 \) となる。
\[\left( \begin 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 9 & 25 \end \right) \left( \begin C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end \right) =\left( \begin 1 \\ 2 \\ 5 \end \right)\]
\[\left( \begin 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 9 & 25 \end \right)^ =\frac \left( \begin 30 & -16 & 2 \\ -30 & 21 & -3 \\ 6 & -5 & 1 \end \right)\]
\[\left( \begin C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end \right) = \left( \begin1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 9 & 25 \end \right)^ \left( \begin 1 \\ 2 \\ 5 \end \right)\ = \frac \left( \begin 30 & -16 & 2 \\ -30 & 21 & -3 \\ 6 & -5 & 1 \end \right) \left( \begin 1 \\ 2 \\ 5 \end \right)\ = \frac \left( \begin 8 \\ -3 \\ 1 \end \right)\ \]
となり、\( C_1 = \frac, C_2 = - \frac, C_3 = \frac \) と求められる。
\[a_n =\frac \cdot 2^n - \frac \cdot 3^n + \frac \cdot 5^n =\frac(2^ - 3^ + 5^n)\]
６．隣接４項間差分方程式（重解あり）
\[a_ - 5a_ + 3a_ + 9a_ =0 \ a_0 = 0, \ a_1 = -6, \ a_2 = 12 \]
\[\begin t^3 - 5t^2 + 3t - 9 & = (t+1)(t^2-6t+9) \\ & =(t+1)(t-3)^2=0 \end\]
よって 1 と 3（2重解）となる。
ここで3が2重解になりましたよね。なので3の部分だけ \( C_1 n + C_2 \) とします。よって一般解は、\( C_1,C_2,C_3 \) は任意の定数として、
\[a_n = (C_1 n+C_2) \cdot 3^n + C_3 \cdot (-1)^n \]
(i) \( n = 0 \) のとき、\( C_2 + C_3 = a_0 = 0 \)(ii) \( n = 1 \) のとき、\( 3C_1 + 3C_2 - C_3 = a_1 = -6 \)(iii) \( n = 2 \) のとき、\( 18C_1 + 9C_2 + C_3 = a_2 = 12 \)
\[\left( \begin 0 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & -1 \\ 18 & 9 & 1 \end \right) \left( \begin C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end \right) =\left( \begin 0 \\ -6 \\ 12 \end \right)\]
\[\left( \begin 0 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & -1 \\ 18 & 9 & 1 \end \right)^ =\frac \left( \begin -12 & -8 & 4 \\ 21 & 18 & -3 \\ 27 & -18 & 3 \end \right)\]
\[\left( \begin C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end \right) = \left( \begin0 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & -1 \\ 18 & 9 & 1 \end \right)^ \left( \begin 0 \\ -6 \\ 12 \end \right)\ = \frac \left( \begin-12 & -8 & 4 \\ 21 & 18 & -3 \\ 27 & -18 & 3 \end \right) \left( \begin 0\\ -6 \\ 12 \end \right)\ = \left( \begin 2 \\ -3 \\ 3 \end \right)\ \]
となり、\( C_1 = 2, C_2 = -3, C_3 = 3 \) と求められる。
\[a_n = (2n-3) \cdot 3^n + 3 \cdot (-1)^n \]
７．連立差分方程式
１問解いてみましょう。\( a_0 = 7, \ b_0 = -4 \) とします。
あとはいつも通り特性方程式を解くだけ。\[ t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4)=0\]
\[ a_n = C_1 \cdot 4^n + C_2\]
ここで、\( a_1 = 2a_0 + b_0 = 10 \) となる。
(i) \( n = 0 \) のとき、\( C_1 + C_2 = a_0 = 7 \)(ii) \( n = 1 \) のとき、\( 4C_1 + C_2 = a_1 = 10 \) となる。
よって、\( C_1 = 1, C_2 = 6 \) となる。
\[ a_n = 1 \cdot 4^n + 6 = 4^n + 6\]
また、\( b_ = a_ - 2a_ \) なので、
\[ b_ = 4^ + 6 - 2(4^n + 6) = 4 \cdot 4^n + 6 - 2 \cdot 4^n - 12 \\ = 2 \cdot 4^n - 6\]
８．公式のまとめ
(1) 隣接３項間差分方程式の一般解※ \( A,B \) は任意の定数
- [重解なしのとき 解を \( \alpha, \beta \) とする]\[a_n = C_1 \cdot \alpha^n + C_2 \cdot \beta^n \]
- [解 \( \alpha \) が重解のとき]\[a_n = (C_1n + C_2) \cdot \alpha^n \]
(2) 隣接４項間差分方程式の一般解※ \( C_1,C_2,C_3 \) は任意の定数
- [重解なしのとき 解を \( \alpha, \beta, \gamma \) とする]\[a_n = C_1 \cdot \alpha^n + C_2 \cdot \beta^n + C_3 \cdot \gamma^n \]
- [\( \alpha \) が2重解のとき 解を \( \alpha, \beta \) とする]\[a_n = (C_1n+C_2) \cdot \alpha^n + C_3 \cdot \beta^n\]
- [\( \alpha \) が3重解のとき]\[a_n = (C_1n^2+C_2n+C_3) \cdot \alpha^n \]
予想したあとは初項を入れて \( C_1,C_2,C_3 \) などの定数を連立方程式などで解いてやればよい。
(1) 解とは特性方程式の解のことである。(2) 初項が \( a_0 \) ではなく \( a_1 \) の場合、n乗をn-1乗に置き換えること。
９．練習
問題\( a_ - 6 a_ + 12 a_ - 8 a_ = 0 \) について、
(1) 定数 \( C_1,C_2,C_3 \) を用いて一般解を求めなさい。(2) \( a_0 = 1, a_1 = 6, a_2 = 4 \) のときの特殊解を求めなさい。
解答\[a_n = (C_1n^2+C_2n+C_3) \cdot 2^n\]
となる。ただし \( C_1, C_2, C_3 \) は任意の定数である。
\( n = 0 \) のとき、\( C_3 = a_0 = 1 \)\( n = 1 \) のとき、\( 2C_1+ 2C_2 + 2C_3 = a_1 = 6 \)\( n = 2 \) のとき、\( 16C_1 + 8C_2 + 4C_3 = a_2 = 4 \)
\[\left( \begin 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 16 & 8 & 4 \end \right) \left( \begin C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end \right) =\left( \begin 1 \\ 6 \\ 4 \end \right)\]
\[\left( \begin 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 16 & 8 & 4 \end \right)^ =\frac \left( \begin 4 & -4 & 1 \\ -12 & 8 & -1 \\ 8 & 0 & 0 \end \right)\]
\[\left( \begin C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end \right) = \left( \begin0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 16 & 8 & 4 \end \right)^ \left( \begin 1 \\ 6 \\ 4 \end \right)\ = \frac \left( \begin 4 & -4 & 1 \\ -12 & 8 & -1 \\ 8 & 0 & 0 \end \right) \left( \begin 1\\ 6 \\ 4 \end \right)\ = \left( \begin -2 \\ 4 \\ 1 \end \right)\ \]
となり、\( C_1 = -2, C_2 = 4, C_3 = 1 \) と求められる。よって特殊解は、
\[ a_n = (-2n^2 + 4n + 1) \cdot 2^n \]
10．さいごに
今回は（右辺）= 0の差分方程式でしたが、次の記事では（右辺）= 0ではない場合の差分方程式の解き方も説明したいと思います。
公開日： 2019年5月21日 更新日： 2019年5月21日 この記事を書いた人 コメント一覧 コメントはありません。 関連記事 4時間で復習！ 1年後期解析学総まとめ 前編 うさぎでもわかる計算機システム Part22 MIPSアーキテクチャ・命令一覧 後編 うさぎでもわかるソーティング 基本ソート編 バブルソート・選択ソート・挿入ソート うさぎでもわかる離散数学（グラフ理論） 第18羽 平面グラフ・平面的グラフ うさぎでもわかる線形代数 第19羽 行列を用いた差分方程式（漸化式）の解き方 うさぎでもわかる計算機システム Part13 4つのメモリ領域・システムコール うさぎでもわかる信号処理 第03羽 ディジタルシステムのいろは（伝達関数・インパルス応答・ステップ応答） うさぎでもわかる複素解析 Part4 複素関数のべき級数展開（マクローリン・テイラー展開） プログラムの計算量、オーダー表記 O( ) の求め方のまとめ うさぎでもわかる離散数学 番外編3 差分方程式（漸化式） 後編カテゴリー
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