tanが含まれる方程式・不等式を解く時の考え方とコツ（弧度法・ラジアン）

こんにちは。 da Vinch (@mathsouko_vinch)です。この高校数学の知識庫でtanだけ別で扱っているのはもちろん理由があります。一つは \(\tan\) が問題であまり出てこないことです。もちろんテストにも入試にも出て.

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まずは \(\tan\) が \(-\sqrt\) になるところを探します。

\(\tan\) は点を決めた時に その点と原点を結ぶ直線の傾き でしたね。ですから

の角度ですね。もしみなさんの中で角度を一つだけ思い浮かべていた人はそこで間違ってしまっています。なぜならこの図を見るだけで \(2\) つ以上、もっと言えば無数にあることが明確にわかるからです。

さて、ではこの \(2\) つの角度はなんでしょうか。

ここは覚えるべきところになります。ですが \(2\pi\) まで全てを覚えておく必要はありません。 \(0\) から \(\pi\) まで覚えていればOK です。

もう一方は図を見れば \(\pi\) 足したものです。直線の反対側ですからね。よって単位円の考え方がわかっていれば \(0\) から \(\pi\) までの \(\tan\) だけで事足りますし、値を言えばだいたいこれぐらいの角度という見当がついてしまいます。

ここでもうちょっと踏み込んで コツを伝授 しましょう。今私たちが覚えるべき \(\tan\) と角度の関係は

ですよね。この 値の大きさ は 角度と対応している ことがわかります。

もちろん \(\frac\) を超えると 角度が大きくなると傾きはマイナスがついて小さくなる 、すなわち値としては 大きくなっていきます 。

この性質を使えば \(\tan\) の角度と値は簡単に対応が付きます。

覚えている \(\tan\) の中でプラスの値を取るのは小さい方から

そして \(\tan \frac\) は わかりません 。それは傾きを見ればわかります。なぜなら 大きすぎて値がわからないから です。 大きすぎてわからないから覚えるときは「なし」 なのです。

\(\frac\) を超えると値は 一番小さいところからスタート です。どんどん値としては大きくなって最後は \(0\) ですね。

が繋がります。角度と三角比の値、そして傾きが結びついたとき \(\tan\) はもはやマスターしたと言っていいでしょう。

不等式も単位円を使いますが、傾きと \(\tan\) が結びついていればなんてことはありません。

例えば \(\frac\) を \(\theta\) に入れると

となります。これは問題を満たしませんのでダメですね。

では例えば \(\frac\) はどうでしょうか。

これは大丈夫ですね。もう少し頑張ります。では \(\frac\pi\) はどうでしょう。

マイナスなので明らかにダメですね。ラストにします。 \(\frac\pi\) はどうですか。

こんな風に角度によって \(\tan\) はどんどん値を変えていきますから、 不等式を満たす角度、満たさない角度が出てきます 。

では 完全にその角度の範囲を指定するためにはどうしたら良いでしょうか 。

先ほどからずっと使っているように \(\tan\) の値は 原点と単位円上の点を結ぶ直線の傾き です。

傾きが \(1\) より大きくなるような単位円上の点から得られる角度

です。図で確認しますね。今欲しいのは傾きが \(1\) より大きくなるような点ですから

こんな風な直線が引けるような角度です。気をつけて欲しいのは見てわかる通り、 角度が大きいところにもその点があること ですね。

傾きが \(1\) のところを考えてそれより大きい傾きを持つ直線を考えればいい

ですね。注意してほしいのは \(\frac\) や\(\frac\pi\) などはいかなる時も答えには入らないことです。 \(\tan\) は \(\frac\) や \(\frac\pi\) の値は「ない」ですからね。

まとめ

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